8 Eylül 1932'de Ahmet Naci Kenter ve Olga Cynthia'nın beşinci ve en küçük çocuğu olarak İstanbul’da doğdu. 1947’de Ankara Devlet Tiyatrosu Çocuk Bölümü'nde tiyatroya başladı. 1950 yılında Devlet Konservatuvarı Tiyatro Bölümü’ne girdi ve buradan 1955 yılında yüksek derece ile mezun oldu. Aynı yıl Ankara Devlet Tiyatrosu’na girdi, 1959 yılına kadar burada çalıştı.
1959 yılında Devlet Tiyatrosu'ndan ayrıldıktan sonra İstanbul'a giderek kardeşi Yıldız Kenter ile beraber Muhsin Ertuğrul ile çalıştı, beraber Küçük Sahne'de oyunlar sergilediler. Şükran Güngör ve Kamuran Yüce ile bu dönemde bir araya geldiler ve dörtlü olarak birlikte uzun yıllar tiyatro yaptılar.
1960-1961 yılları arasında Site Tiyatrosu'nu kurdular. 1962'de adını Kent Oyuncuları olarak değiştirdiler. İki kardeş ve Şükran Güngör, 1968'de İstanbul’da Kenter Tiyatrosu'nun binasının inşaatını tamamladılar. Tiyatroyu yapmak için tüm paralarını ortaya koymaları, büyük bir turne ile Anadolu'yu gezmeleri ve bir koltuk satma kampanyası ile destek toplamaları gerekmişti.
Müşfik Kenter, İngiliz Kültür Heyeti ve Rockefeller’den burslar alarak Amerika ve İngiltere’de tiyatro araştırmaları yaptı ve incelemelerde bulundu. İngiltere, Amerika, Fransa, Almanya, Yugoslavya, Kıbrıs gibi bir çok ülkede oyunlar sergiledi. “Derya Gülü”, “Aptal Kız”, “Nalınlar”, “Fehim Paşa Konağı”, “Mikado’nun Çöpleri”, “Çok Uzak Fazla Yakın”, “Ramiz ile Jülide”, “Bir Garip Orhan Veli”, “Kuvayi Milliye”, “Huysuz İhtiyar,” “Nasrettin Hoca Bir Gün” gibi yerli oyunların yanı sıra, William Shakespeare, Anton Pavloviç Çehov, Maksim Gorki, Bertolt Brecht, Eugene Ionesco, Harold Pinter, Edward Albee, Arthur Miller gibi yazarların oyunlarını sahneledi ve oynadı. Hamlet, Cyrano de Bergerac, Sustalı Mack gibi tiyatro edebiyatının en önemli rollerini sahneye başarıyla taşıdı. Tiyatro oyunculuğunun yanında sinema oyunculuğuna da önem vererek, çok sayıda filmde biribirinden farklı kompozisyonlarla başarı kazandırdı.
30 yılı aşkın bir süredir oynadığı, Orhan Veli’nin şiirlerini Murathan Mungan’ın düzenlemesiyle oluşturulan, Oğuz Aral'ın sahneye koyduğu “Bir Garip Orhan Veli”, ülkemizde en uzun süre sahnelenen oyun olma özelliğine sahiptir ve Müşfik Kenter’le özdeşleşmiştir.
“Dar Alanda Kısa Paslaşmalar”, “Kurtuluş”, “Ay Vakti”, “Piano Piano Bacaksız”, “Rumuz Goncagül”, “Hayallerim, Aşkım Ve Sen”, “Ateşten Günler”, “Yorgun Savaşçı”, “Seni Kalbime Gömdüm”, “Üç Arkadaş”, “Bozuk Düzen”, “Murtaza”, “Dişi Kurt,” Türk Sinema Tarihi’nde önemli bir yeri olan “Sevmek Zamanı”, Tevfik Başer'in yönettiği “Lebewohl, Fremde / Elveda Yabancı”, oynadığı filmlerden bazılarıdır. Oynadığı sinema filmlerinin yanı sıra pek çok televizyon dizisinde rol almış; belgesel, reklam, dizi ve film seslendirmesi çalışmaları da yapmıştır.
Müşfik Kenter'in sinema ve tiyatro alanında edindiği pek çok ödülden bazıları şöyledir:
- 3. Antalya Film Şenliği En İyi Erkek Oyuncu – “Bozuk Düzen” (1966)
- Olağanüstü Yorum Ödülü – “Konken Partisi” (1993)
- Afife Ödülleri Muhsin Ertuğrul Özel Ödülü (1997)
- Afife Ödülleri En İyi Yardımcı Erkek Oyuncu – “Çözüm” (2002)
- 8. Uluslararası Kukla Festivali Onur Ödülü (2005)
- Antalya Film Festivali Yıldırım Önal Özel Ödülü (2008)
- Adana Sakıp Sabancı Vakfı Yaşam Boyu Başarı Ödülü (2010)
Mimar Sinan Üniversitesi Devlet Konservatuvarı’ndan emekli olduktan sonra, Haliç Üniversitesi Konservatuvarı Tiyatro Bölümü Başkanlığı ve Bakırköy Belediyesi Şehir Tiyatrosu Genel Sanat Yönetmenliği yapmıştır.
Aramızdan ayrıldığı 15 Ağustos 2012'den kısa süre öncesine kadar, Orhan Veli şiir gösterisiyle sahneye çıkmaya devam etmiştir.
