1926 yılında Çine’de doğdu. Lise öğrenimini İstanbul’da yaptı. 1951 yılında Hukuk Fakültesinin son sınıfında okurken, Muhsin Ertuğrul’a başvurarak yeni açılan Küçük Sahne’ye girdi. İlk defa Fareler ve İnsanlar piyesinde sahneye çıkan Şükran Güngör, Karakolda, Onikinci Gece, Babayiğit, Hamlet, Örümcek, Her Yerde Bulut, Bir Ümit İçin ve Godot’yu Beklerken adlı oyunlarda önemli rolleri başarıyla canlandırdı. 1956 yılı başlarında Küçük Sahne'den ayrılarak Devlet Tiyatrosuna girdi. Daha sonra katıldığı Kent Oyuncuları'nda Raşomon, Aptal Kız, Aşk Efsanesi, Nalınlar, Derya Gülü, Miras, Mary Mary, Üç Kuruşluk Opera, Pembe Kadın, Vanya Dayı, Çöl Faresi, Bedel, Kim Kimi Kiminle, Ver Elini Broadway, Batak Göl, Buzlar Çözülmeden, Arzu Tramvayı, Harold ve Maude, Lütfen Kızımla Evlenir misin, Küçük Mutluluklar, Umut Şarkıları, Maria Callas, Martı, Nükte ve Çözüm adlı oyunlarda rol aldı. Kim Korkar Hain Kurttan ve Küçük Devlet oyunlarında yönetmenlik yaptı.

Fatma Bacı (1972), Kızım Ayşe (1974), Dul Bir Kadın (1985), Nihavend Mucize (1997), Güle Güle (2000), Herkes Kendi Evinde (2000), Büyük Adam Küçük Aşk (2001) adlı sinema filmlerinde oynayan Şükran Güngör, Aşk-ı Memnu (1975), Yarın Artık Bugündür (1987), Uğurlugil Ailesi adlı televizyon dizilerinde de önemli roller üstlendi. En son çalışması, TRT için çekilen Canım Kocacığım adlı televizyon dizisidir.

Tiyatro ve sinemada yaptığı çalışmalar ve çeşitli festivallerde sayısız ödül alan Güngör, son olarak 13. Uluslararası Tiyatro Festivali’nde Onur Ödülü'üne ve Ankara Film Festivali’nde  Büyük Adam Küçük Aşk filmindeki emekli yargıç rolüyle, “En İyi Erkek Oyuncu” ödülüne layık görüldü.

15 Eylül 2002'de aramızdan ayrıldı.